Жидкость

Описание

Гидродинамика сглаженных частиц (ГСЧ) — это один из распространенных методов моделирования жидкостей и газов. Он отличается простотой программирования и понимания процесса в отличие от моделирования на сетке. Этот метод был впервые предложен для моделирования астрофизических явлений, но сейчас используется также для моделирования жидкостей, газов и процессов деформации в твердых телах.

Двухфазное моделирование жидкости.

При моделировании ГСЧ жидкость представляется набором частиц, каждая из которых обладает набором физических характеристик, как-то: положение \(\mathbf{r}_i\), скорость \(\mathbf{v}_i\), масса \(m_i\). По этим значениям для частиц восстанавливается значение физических величин во всех точках простанства. Для частиц определяется длина сглаживания \(h\), на расстоянии которой свойства частиц «сглаживаются».

Вклад каждой частицы в значение физической величины в точке \(\mathbf{r}\) определяется так называемой функцей ядра \(W(\mathbf{r} - \mathbf{r}_i, h)\). Чаще всего в качестве функции ядра используются Гауссова функция и полиномиальные сплайны. Значения последних равны нулю для частиц, расположенных дальше, чем на \(h\) от точки \(\mathbf{r}\). Это позволяет эффективнее расчитывать модель, игнорируя ничтожно малый вклад далёких частиц.

Любая физическая величина в точке \(\mathbf{r}\) может быть рассчитана по следующей формуле:

\[A(\mathbf{r}) = \sum_j m_j {A_j \over \rho_j} W (\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h),\]

где \(A_j\) — значение величины в точке \(\mathbf{r}_j\), \(\rho_j\) — плотность частиц в точке \(\mathbf{r}_j\). Например, плотность может быть вычислена следующим образом:

\[\rho_\mathbf{r} = \rho(\mathbf{r}) = \sum_j m_j W (\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h).\]

Для расчёта движения частиц в ГСЧ моделируются силы давления, вязкости и поверхностного натяжения.

Давление для частицы расчитывается исходя из её плотности:

\[p_i = k (\rho_i - \rho_0),\]

где \(\rho_0\) — это плотность окружающей среды, а \(k\) — коэффициент жесткости (сжимаемости). Этот параметр необязателен, но позволяет точнее настроить систему. Сила давления расчитывается по следующей формуле:

\[f_{pressure}(\mathbf{r}) = \sum_j m_j {p_i + p_j \over 2 \rho_j} \nabla W (\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h)\]

Вязкость — это эффект, который возникает при «трении» слоёв жидкость друг о друга. Сила вязкости зависит от скоростей соседних частиц и вычисляется по формуле:

\[f_{viscosity}(\mathbf{r}) = \mu \sum_j m_j {\mathbf{v}_i - \mathbf{v_j} \over \rho_j} \nabla^2 W(\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h),\]

где \(\mu\) — коэффициент вязкости.

Сила поверхностного натяжения расчитывается следующим образом:

\[f_{tension}(\mathbf{r}) = \sigma \sum_j m_j {1 \over \rho_j} \nabla^2 W(\mathbf{r} - \mathbf{r}_j, h),\]

где \(\sigma\) — коэффициент поверхностного натяжения.

Для различных величин могут использоваться различные функции ядра, наиболее точно описывающие вклад соседних частиц. Для большинства величин достаточно хорошо подходит функция \(W_{poly6}\):

\[\begin{split}W_{poly6}(\mathbf{r}, h) = {315 \over 64 \pi h^9} \begin{cases} (h^2 - r^2)^3, & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}\end{split}\]\[\begin{split}\nabla W_{poly6}(\mathbf{r}, h) = - {315 \over 64 \pi h^9} \begin{cases} 6 r (h^2 - r^2)^2, & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}\end{split}\]\[\begin{split}\nabla^2 W_{poly6}(\mathbf{r}, h) = {315 \over 64 \pi h^9} \begin{cases} 6 (h^2 - r^2) (4 r^2 - (h^2 - r^2)), & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}\end{split}\]

Тем не менее, для лучшего эффекта несжимаемой жидкости при расчёте плотности лучше воспользоваться специальной функцией ядра:

\[W_{density}(\mathbf{r}, h) = \begin{cases} (1 - {r \over h})^2, & 0 \leq r \leq h \\ 0, & r > h \end{cases}\]

Таким образом, моделирование заключается в пошаговой обработке системы частиц. Каждый шаг включает в себя для каждой частицы:

• нахождение соседних частиц;
• вычисление плотности;
• вычисление давления;
• расчёт сил: давление, вязкость и поверхностное натяжение;
• добавление гравитации и расчёт ускорения;
• пересчет скорости и положения;
• проверку ограничений (стенки);
• отрисовку.

Минимальные требования (базовая часть)

Базовая реализация проекта, в которой должны разбираться все участники, должна содержать:

• визуализацию и моделирование заданной сцены с жидкостью;
• загрузку начального состояния сцены из файла.

Расширенный интерфейс (дополнительная часть)

Расширенный интерфейс должен добавлять хотя бы 2 различные возможности к базовому интерфейсу. Ниже перечислены возможные варианты расширения интерфейса, однако этим списком они не ограничены:

• меню выбора сцены;
• меню выбора способа моделирования (различные ядровые функции);
• редактор сцены;
• настройки свойств жидкости;
• управление моделированием:
  • пауза/продолжение;
  • ускорение/замедление;
  • перемотка;
• интерфейс сохранения/загрузки текущего состояния сцены;
• отображение поверхности жидкости;
• и т.д.

Расширенные возможности моделирования (дополнительная часть)

Расширенное моделирование должно добавлять хотя бы 2 различные возможности к базовому моделированию жидкости:

• оптимизация расчёта:
  • быстрое нахождение соседних частиц;
  • автоматически подстраиваемая под каждую частицу длина сглаживания (чтобы в её окрестности всегда находилось примерно одно и то же кол-во частиц);
• многофазные жидкости (разнородные частицы, вязкость и поверхностное натяжение действует только между частицами одного типа);
• взаимодействие с движущимися объектами (мяч, пропеллер и т.п.);
• и т.д.

Работа с базой данных (дополнительная часть)

Модуль для работы с базой данных должен предоставлять хотя бы 2 различных возможности:

• база сцен;
• база жидкостей и других объектов сцены;
• и т.д.